冪函數求導公式：y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)。冪函數導數公式的證明：y=x^a，兩邊取對數lny=alnx，兩邊對x求導（1/y)*y'=a/x，所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)。
冪函數求導公式
冪函數導數公式的證明：
y=x^a。
兩邊取對數lny=alnx。
兩邊對x求導(1/y)*y'=a/x。
所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)。
在這個過程之中：
1、lny首先是y的函數，y又是x的函數，所以，lny也是x的函數。
2、lny是一目瞭然的，是顯而易見的，是直截瞭當的，所以稱它為顯函數，explicitfunction。
3、設u=lny，u是y的顯函數，它也是x的函數，由於是隱含的，稱為隱函數，implicit。
4、u對y求導是1/y，這是對y求導，不是對x求導。
5、u是x的隱函數，u對x求導，用鏈式求導，chainrule。
6、u對x的求導，是先對y求導，然後乘上y對x的求導，也就是：
du/dy=1/y。
du/dx=(du/dy)*(dy/dx)=(1/y)*y'=(1/y)y'。
冪函數導數公式的證明
y=x^a，兩邊取對數lny=alnx，兩邊對x求導(1/y)*y'=a/x，所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)。
當α為整數時，α的正負性和奇偶性決定瞭函數的單調性：
①當α為正奇數時，圖像在定義域為R內單調遞增。
②當α為正偶數時，圖像在定義域為第二象限內單調遞減，在第一象限內單調遞增。
③當α為負奇數時，圖像在第一三象限各象限內單調遞減（但不能說在定義域R內單調遞減）。
④當α為負偶數時，圖像在第二象限上單調遞增，在第一象限內單調遞減。
一般的，形如y=x^α(α為實數)的函數，即以底數為自變量，冪為因變量，指數為常量的函數稱為冪函數。例如函數y=x y=x、y=x、y=x(註:y=x=1/x y=x時x≠0)等都是冪函數。當a取非零的有理數時是比較容易理解的，而對於α取無理數時，初學者則不大容易理解瞭。
因此，在初等函數裡，我們不要求掌握指數為無理數的問題，隻需接受它作為一個已知事實即可，因為這涉及到實數連續性的極為深刻的知識。
