常用的四個均值不等式包括：算術平均不等式、幾何平均不等式、平方平均不等式和調和平均不等式。高中均值不等式：a²+b²≥2ab；√(ab)≤(a+b)/2；a²+b²+c²≥（a+b+c）²/3；a+b+c≥3×三次根號abc。
四個均值不等式是什麼
1. 算術平均不等式：對於任意非負實數a和b，成立不等式
$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$。
這個不等式告訴我們，如果兩個數的和除以2大於等於它們的乘積的平方根，那麼它們的和除以2至少不小於它們的乘積的平方根。
2. 幾何平均不等式：對於任意非負實數a和b，成立不等式
$\sqrt{ab} \geq \frac{a+b}{2}$。
這個不等式告訴我們，如果兩個數的乘積的平方根大於等於它們的和除以2，那麼它們的乘積的平方根至少不小於它們的和除以2。
3. 平方平均不等式：對於任意非負實數a和b，成立不等式
$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \geq \frac{a+b}{2}$。
這個不等式告訴我們，如果兩個數的平方和除以2的平方根大於等於它們的和除以2，那麼它們的平方和除以2的平方根至少不小於它們的和除以2。
4. 調和平均不等式：對於任意正實數a和b，成立不等式
$\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \frac{a+b}{2}$。
這個不等式告訴我們，如果兩個數的倒數的平均值小於等於它們的和除以2的倒數，那麼它們的倒數的平均值至少不大於它們的和除以2的倒數。
這四個常用的均值不等式在數學和實際問題中有廣泛的應用，可以幫助我們建立或判斷數值之間的關系。拓展知識：除瞭上述四個常用的均值不等式，還有一些其他的均值不等式，如夾逼定理、加權平均不等式等，它們在不同的數學領域和問題中也發揮著重要作用。
均值不等式的公式
1、調和平均數：Hn=n/(1/a_1+1/a_2+⋯+1/a_n )
2、幾何平均數：Gn=n√(a_1 a_2…a_n )
3、算術平均數：An=(a_1+a_2+⋯+a_n)/n
4、平方平均數：Qn=√((a_1^2+a_2^2+⋯+a_n^2)/n)
5、均值定理： 如果
屬於正實數那麼且僅當時 等號成立。
這四種平均數滿足Hn≤Gn≤An≤Qn
a1、a2、… 、an∈R +，當且僅當a1=a2= … =an時取“=”號
均值不等式的一般形式：設函數D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r）（當r不等於0時）；
（a1a2...an)^(1/n）（當r=0時）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n））
則 [1]當註意到Hn≤Gn≤An≤Qn僅是上述不等式的特殊情形，即D(-1）≤D(0）≤D⑴≤D⑵
由以上簡化，有一個簡單結論，中學常用2/(1/a+1/b）≤√ab≤（a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2]
均值定理的證明：因為 a 〉0 ， b 〉0 所以 a+b/2 - √ab = a+b-2√ab/2 = (√a-√b)^2/2 ≥ 0
即 a+b/2≥√ab. 當且僅當√a= √b ,等號成立。
