arctanx的原函數是x*arctanx-(1/2)ln(1+x²)+C。原函數是指對於一個定義在某區間的已知函數f(x)，如果存在可導函數F(x)，使得在該區間內的任一點都存在dF(x)=f(x)dx，則在該區間內就稱函數F(x)為函數f(x)的原函數。
arctanx原函數推導過程
∫ arctanx dx
=x*arctanx-∫xd(arctanx)
=x*arctanx-∫x/(1+x²)dx
=x*arctanx-(1/2)∫ d(x²)/(1+x²)
=x*arctanx-(1/2)∫ d(1+x²)/(1+x²)
=x*arctanx-(1/2)ln(1+x²)+C
所以arctanx的原函數解得為：x*arctanx-(1/2)ln(1+x²)+C
原函數存在定理
若函數f(x)在某區間上連續，則f(x)在該區間內必存在原函數，這是一個充分而不必要條件，也稱為“原函數存在定理”。
函數族F(x)+C(C為任一個常數)中的任一個函數一定是f(x)的原函數，
故若函數f(x)有原函數，那麼其原函數為無窮多個。
例如，x是3x的一個原函數，易知，x+1和x+2也都是3x的原函數。因此，一個函數如果有一個原函數，就有許許多多原函數，原函數概念是為解決求導和微分的逆運算而提出來的。
例如：已知作直線運動的物體在任一時刻t的速度為v=v(t),要求它的運動規律，就是求v=v(t)的原函數。原函數的存在問題是微積分學的基本理論問題，當f(x)為連續函數時，其原函數一定存在。
