復數
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考試內容：復數的概念；復數的加法和減法；復數的乘法和除法；數系的擴充。
復數知識要點：復數是高中代數的重要內容，在高考試題中約占8%-10%，一般的出一道基礎題和一道中檔題，經常與三角、解析幾何、方程、不等式等知識綜合.本章主要內容是復數的概念，復數的代數、幾何、三角表示方法以及復數的運算.方程、方程組，數形結合，分域討論，等價轉化的數學思想與方法在本章中有突出的體現.而復數是代數，三角，解析幾何知識，相互轉化的樞紐，這對拓寬學生思路，提高學生解綜合習題能力是有益的.數、式的運算和解方程，方程組，不等式是學好本章必須具有的基本技能.簡化運算的意識也應進一步加強.
1.知識網絡圖
2.復數中的難點
(1)復數的向量表示法的運算.對於復數的向量表示有些學生掌握得不好，對向量的運算的幾何意義的靈活掌握有一定的困難.對此應認真體會復數向量運算的幾何意義，對其靈活地加以證明.
(2)復數三角形式的乘方和開方.有部分學生對運算法則知道，但對其靈活地運用有一定的困難，特別是開方運算，應對此認真地加以訓練.
(3)復數的輻角主值的求法.
(4)利用復數的幾何意義靈活地解決問題.復數可以用向量表示，同時復數的模和輻角都具有幾何意義，對他們的理解和應用有一定難度，應認真加以體會.
3.復數中的重點
(1)理解好復數的概念，弄清實數、虛數、純虛數的不同點.
(2)熟練掌握復數三種表示法，以及它們間的互化，並能準確地求出復數的模和輻角.復數有代數，向量和三角三種表示法.特別是代數形式和三角形式的互化，以及求復數的模和輻角在解決具體問題時經常用到，是一個重點內容.
(3)復數的三種表示法的各種運算，在運算中重視共軛復數以及模的有關性質.復數的運算是復數中的主要內容，掌握復數各種形式的運算，特別是復數運算的幾何意義更是重點內容.
(4)復數集中一元二次方程和二項方程的解法.
4. ⑴復數的單位為i，它的平方等於－1，即
.
⑵復數及其相關概念：
① 復數—形如a + bi的數（其中
）；
② 實數—當b = 0時的復數a + bi，即a；
③ 虛數—當
時的復數a + bi；
④ 純虛數—當a = 0且時的復數a + bi，即bi.
⑤ 復數a + bi的實部與虛部—a叫做復數的實部，b叫做虛部（註意a，b都是實數）
⑥ 復數集C—全體復數的集合，一般用字母C表示.
⑶兩個復數相等的定義：
.
⑷兩個復數，如果不全是實數，就不能比較大小.
註：①若
為復數，則
若
，則
.（×）[為復數，而不是實數]
若
，則
.（√）
②若
，則
是
的必要不充分條件.（當
，
時，上式成立）
5. ⑴復平面內的兩點間距離公式：
.
其中
是復平面內的兩點
所對應的復數，
間的距離.
由上可得：復平面內以
為圓心，
為半徑的圓的復數方程：
.
⑵曲線方程的復數形式：
①
為圓心，r為半徑的圓的方程.
②
表示線段
的垂直平分線的方程.
③
為焦點，長半軸長為a的橢圓的方程（若
，此方程表示線段
）.
④
表示以
為焦點，實半軸長為a的雙曲線方程（若，此方程表示兩條射線）.
⑶絕對值不等式：
設是不等於零的復數，則
①
.
左邊取等號的條件是
，右邊取等號的條件是
.
②
.
左邊取等號的條件是
，右邊取等號的條件是
.
註：
.
6. 共軛復數的性質：
，
（
a + bi） 
（
） 
註：兩個共軛復數之差是純虛數. （×）[之差可能為零，此時兩個復數是相等的]
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⑴①復數的乘方：
②對任何
，
及
有
③
註：①以上結論不能拓展到分數指數冪的形式，否則會得到荒謬的結果，如
若由
就會得到
的錯誤結論.
②在實數集成立的
. 當
為虛數時，
，所以復數集內解方程不能采用兩邊平方法.
⑵常用的結論：
若
是1的立方虛數根，即
，則 .
8. ⑴復數是實數及純虛數的充要條件：
①
.
②若
，是純虛數
.
⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起點在哪裡，都認為是相等的，而相等的向量表示同一復數. 特例：零向量的方向是任意的，其模為零.
註：
.
9. ⑴復數的三角形式：
.
輻角主值：
適合於0≤
＜
的值，記作
.
註：①為零時，可取
內任意值.
②輻角是多值的，都相差2
的整數倍.
③設
則
.
⑵復數的代數形式與三角形式的互化：
，
，
.
⑶幾類三角式的標準形式：
10. 復數集中解一元二次方程：
在復數集內解關於的一元二次方程
時，應註意下述問題：
①當
時，若
＞0，則有二不等實數根
；若=0，則有二相等實數根
；若＜0，則有二相等復數根
（
為共軛復數）.
②當
不全為實數時，不能用
方程根的情況.
③不論為何復數，都可用求根公式求根，並且韋達定理也成立.
11. 復數的三角形式運算：
棣莫弗定理：
