勾股定理是初等幾何中的一個基本定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。勾股定理現約有500種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一，下面是其中一種證明方法。
勾股定理的證明方法
以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等於二分之一ab.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上，B、F、C三點在一條直線上，C、G、D三點在一條直線上。
∵RtΔHAE≌RtΔEBF,
∴ ∠AHE =∠BEF.
∵ ∠AEH +∠AHE = 90º,
∴ ∠AEH +∠BEF = 90º.
∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.
∴ 四邊形EFGH是一個邊長為c的
正方形.它的面積等於c2.
∵RtΔGDH≌RtΔHAE,
∴ ∠HGD =∠EHA.
∵ ∠HGD +∠GHD = 90º,
∴ ∠EHA +∠GHD = 90º.
又∵ ∠GHE = 90º,
∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.
∴ABCD是一個邊長為a + b的正方形，它的面積等於a+b的平方。
∴a加b的平方等於4乘二分之一ab，加上c的平方。.
∴a的平方加b的平方等於c的平方。
勾股定理的逆定理
如果三角形兩條邊的平方和等於第三邊的平方，那麼這個三角形就是直角三角形。最長邊所對的角為直角。
勾股定理的逆定理是判斷三角形是否為銳角、直角或鈍角三角形的一個簡單的方法。若c為最長邊，且a²+b²=c²，則△ABC是直角三角形。如果a²+b²>c²，則△ABC是銳角三角形。如果a²+b²＜c²則△ABC是鈍角三角形。
