絕對值三角不等式定理：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|。三角不等式，即在三角形中兩邊之和大於第三邊，有時亦指用不等號連接的含有三角函數的式子。
絕對值三角不等式公式
||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|是由兩個雙邊不等式組成。
一個是||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|，這個不等式當a、b同方向時（如果是實數，就是正負符合相同）|a+b|=|a|+|b|成立。當a、b異向（如果是實數，就是ab正負符合不同）時，||a|-|b||=|a±b|成立。
另一個是||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|，這個等號成立的條件剛好和前面相反，當a、b異向（如果是實數，就是ab正負符合不同）時，|a-b|=|a|+|b|成立。當a、b同方向時（如果是實數，就是正負符合相同）時，||a|-|b||=|a-b|成立。
三角不等式證明
設ABC為一個三角形，記△ABC，延長BA至點D，使DA=CA，連接DC.
則因DA=AC，∠ADC=∠ACD（等邊對等角，《幾何原本》命題5）
所以∠BCD大於∠ADC（整體大於部分公理）
由於DCB是三角形，∠BCD大於∠BDC，而且較大角所對的邊較大（大角對大邊，命題19）
所以DB>BC，而DA=AC
則DB=AB+AD=AB+AC>BC.
