均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是數學中的一個重要公式：公式內容為Hn≤Gn≤An≤Qn，即調和平均數不超過幾何平均數，幾何平均數不超過算術平均數，算術平均數不超過平方平均數。
均值不等式的公式
1、調和平均數：Hn=n/(1/a_1+1/a_2+⋯+1/a_n )
2、幾何平均數：Gn=n√(a_1 a_2…a_n )
3、算術平均數：An=(a_1+a_2+⋯+a_n)/n
4、平方平均數：Qn=√((a_1^2+a_2^2+⋯+a_n^2)/n)
5、均值定理： 如果
屬於正實數那麼且僅當時 等號成立。
這四種平均數滿足Hn≤Gn≤An≤Qn
a1、a2、… 、an∈R +，當且僅當a1=a2= … =an時取“=”號
均值不等式的一般形式：設函數D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r）（當r不等於0時）；
（a1a2...an)^(1/n）（當r=0時）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n））
則 [1]當註意到Hn≤Gn≤An≤Qn僅是上述不等式的特殊情形，即D(-1）≤D(0）≤D⑴≤D⑵
由以上簡化，有一個簡單結論，中學常用2/(1/a+1/b）≤√ab≤（a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2]
均值定理的證明：因為 a 〉0 ， b 〉0 所以 a+b/2 - √ab = a+b-2√ab/2 = (√a-√b)^2/2 ≥ 0
即 a+b/2≥√ab. 當且僅當√a= √b ,等號成立。
均值不等式證明
用數學歸納法的證明
第一步：等價變換，分子增加又減去同一項，巧妙處是這一項指數的選取，正好是要證明的右端。
第二步：（1）把前面（a1+a2+...+ak）用上面假設n=k成立時較小的右端乘k代替，（a1+a2+...+ak）/k≥（a1a2...ak）^(1/k),兩邊乘k：
a1+a2+...+ak≥k（a1a2...ak）^(1/k),
因此≥成立。
（2）難點是a（k+1）+（k-1）（a1a2...a（k+1））^(1/(k+1))≥k[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)
其實也很好證明（k-1）（a1a2...a（k+1））^(1/(k+1)，看成是k-1個數，加上a（k+1），也是k個數。
根據上面假設，n=k時，（a1+a2+...+ak）/k≥（a1a2...ak）^(1/k)是成立的，
註意！！！a1，a2，...，ak隻是正數的代表，不限於什麼正數，換成k個數：a（k+1），和k-1個（a1a2...a（k+1））^(1/(k+1)，這個不等式也是成立的！代換一下，就成瞭：
a（k+1）+（k-1）（a1a2...a（k+1））^(1/(k+1))≥k[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)
第三步：
前面兩項提取k之後成為：
（a1a2...ak）^(1/k)+[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)
使用前面一開始證明的n=2時的結果，a1+a2≥2√（a1a2）（當成公式，不是當成數）
（a1a2...ak）^(1/k)+[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)
≥2{（a1a2...ak）^(1/k)[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)}^(1/2)
=2{（a1a2...ak）^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/k(k+1)]]}^(1/2)
=2{（a1a2...ak）^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[1/（k+1）-1/k(k+1)]]}^(1/2)
=2{（a1a2...ak）^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[1/（k+1）-1/k+1/(k+1)]]}^(1/2)
=2{（a1a2...aka(k+1)）^(1/k)[(a1a2...a(k+1))^[2/（k+1）-1/k]]}^(1/2)
=2{[(a1a2...a(k+1))^[2/（k+1）-1/k+1/k]]}^(1/2)
=2{[(a1a2...a(k+1))^[2/（k+1）]]}^(1/2)
=2(a1a2...a(k+1))^[1/（k+1）]
然後代入即可。
