偶函數的導數一定是奇函數。奇函數是指對於一個概念域關於原點對稱的函數f（x）的概念域內任意一個x，都有f（-x）=-f（x），那麼函數f（x）就叫做奇函數。
偶函數的導數一定是奇函數嗎
證明：設可導的偶函數f(x)，則f(-x)=f(x)。
兩邊求導：
f'(-x)(-x)'=f'(x)
即f'(-x)(-1)=f'(x)
f'(-x)=-f'(x)
於是f'(x)是奇函數
f'(-x)(-1)=f'(x)此處用復合函數求導法則由於[f(-x)]'=f'(-x)(-x)',而[f(x)]'=f'(x)於是f(-x)=f(x)兩邊求導得f'(-x)(-x)'=f'(x)。
奇函數偶函數的性質
奇函數的性質：
1、兩個奇函數相加所得的和或相減所得的差為奇函數。
2、一個偶函數與一個奇函數相加所得的和或相減所得的差為非奇非偶函數。
3、兩個奇函數相乘所得的積或相除所得的商為偶函數，一個偶函數與一個奇函數相乘所得的積或相除所得的商為奇函數。
4、當且僅當f（x）=0（定義域關於原點對稱）時，f（x）既是奇函數又是偶函數。奇函數在對稱區間上的積分為零。
偶函數的性質：
1、偶函數的圖象關於y軸對稱。
2、在偶函數f(x)中，滿足f(-x)=f(x)的條件。
3、偶函數在關於原點對稱的區間上單調性相反。
4、如果一個函數既是奇函數又是偶函數，那麼f(x)=0。
5、偶函數的定義域關於原點對稱。
