復數z=a+bi(a、b∈R)與有序實數對(a，b)是一一對應關系。復數的幾何意義，是指復數z=a+bi(a、b∈R)，一一對應復平面內的點Z（a,b）。其中，在復平面內，復數的實部（a）是其對應點的橫坐標，復數的虛部（b）是其對應點的縱坐標。
復數的定義
復數是形如a＋bi的數。式中a，b為實數，i是一個滿足i＝－1的數，因為任何實數的平方不等於－1，所以i不是實數，而是實數以外的新的數。在復數a＋bi中，a稱為復數的實部，b稱為復數的虛部，i稱為虛數單位。
當虛部等於零時，這個復數就是實數；當虛部不等於零時，這個復數稱為虛數，虛數的實部如果等於零，則稱為純虛數。由上可知，復數集包含瞭實數集，因而是實數集的擴張。復數常用形式z＝a＋bi叫做代數式。
我們把形如z=a+bi（a、b均為實數）的數稱為復數。其中，a稱為實部，b稱為虛部，i稱為虛數單位。當z的虛部b＝0時，則z為實數；當z的虛部b≠0時，實部a＝0時，常稱z為純虛數。
復數域是實數域的代數閉包，即任何復系數多項式在復數域中總有根。復數是由意大利米蘭學者卡當在16世紀首次引入，經過達朗貝爾、棣莫弗、歐拉、高斯等人的工作，此概念逐漸為數學傢所接受。
復數的四則運算公式
復數運算法則有：加減法、乘除法。兩個復數的和依然是復數，它的實部是原來兩個復數實部的和，它的虛部是原來兩個虛部的和。復數的加法滿足交換律和結合律。此外，復數作為冪和對數的底數、指數、真數時，其運算規則可由歐拉公式e^iθ=cos θ+i sin θ（弧度制）推導而得。
加法法則：
復數的加法按照以下規定的法則進行：設z1=a+bi，z2=c+di是任意兩個復數，則它們的和是 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
兩個復數的和依然是復數，它的實部是原來兩個復數實部的和，它的虛部是原來兩個虛部的和。復數的加法滿足交換律和結合律，即對任意復數z1，z2，z3，有： z1+z2=z2+z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)。
減法法則：
復數的減法按照以下規定的法則進行：設z1=a+bi，z2=c+di是任意兩個復數，則它們的差是 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。兩個復數的差依然是復數，它的實部是原來兩個復數實部的差，它的虛部是原來兩個虛部的差。
乘法法則：
規定復數的乘法按照以下的法則進行：設z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意兩個復數，那麼它們的積(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。
其實就是把兩個復數相乘，類似兩個多項式相乘，展開得: ac+adi+bci+bdi2，因為i2=-1，所以結果是(ac－bd)+(bc+ad)i 。兩個復數的積仍然是一個復數。
在極坐標下，復數可用模長r與幅角θ表示為(r,θ)。對於復數a+bi,r=√(a²+b²)，θ=arctan(b/a)。此時，復數相乘表現為幅角相加，模長相乘。
除法法則：
復數除法定義：滿足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的復數x+yi(x,y∈R)叫復數a+bi除以復數c+di的商。運算方法：可以把除法換算成乘法做，在分子分母同時乘上分母的共軛。所謂共軛你可以理解為加減號的變換，互為共軛的兩個復數相乘是個實常數。
