設R為空間X中點的連通關系，每個等價類R[x]稱為空間X的一個連通分支。設Y為空間X的非空子集，Y作為X的子空間的連通分支稱為X的子集Y的連通分支。拓撲空間X的所有連通分支之族是X的一個分類。換言之，X的每個連通分支都是非空集；X的不同連通分支不相交；X的所有連通分支之並為X。
對於一個無向圖而言，它的一個極大連通子圖即為一連通支。比如說，一個圖由三部分構成，其中每一部分都是連通的，但三個部分之間互相不連通，那麼每一部分即為無向圖的一個連通分支。此圖的連通分支數為3。
更形象些，你把教學樓附近的幾棵樹合起來看做是一個無向圖，樹葉和樹枝分叉點為圖的結點，樹枝為圖的邊，每一棵樹是連通的，但樹與樹之間沒有樹枝相連。因而，每棵樹都可視為一個連通分支，樹的個數為連通分枝數。
拓撲空間X的所有連通分支之族是X的一個分類。換言之，X的每個連通分支都是非空集；X的不同連通分支不相交；X的所有連通分支之並為X。
拓撲空間X是連通空間當且僅當X是它的唯一連通分支。C不是拓撲空間X的任意連通子集的真子集。則稱C為拓撲空間X的一個連通分支(或極大連通子集)，設X是多於一點的拓撲空間，若拓撲空間X的每個單點集都是X的連通分支。
