正交矩陣的行列式是+1或−1。實數方塊矩陣是正交的，當且僅當它的列形成瞭帶有普通歐幾裡得點積的歐幾裡得空間R的正交規范基，它為真當且僅當它的行形成R的正交基。比行列式限制更強的是正交矩陣總可以是在復數上可對角化來展示特征值的完全的集合，它們全都必須有（復數）絕對值1。
矩陣的作用就是一個運動的快照，矩陣乘以一個向量，相當於將這個向量進行旋轉，伸縮。而如果是正交矩陣乘以一個向量，它就是所有保持原點不動、長度不變的線性變換。
比如旋轉，比如反射。就這兩種。前者保持定向，後者反向。以二維為例，正交矩陣都為[cos(a)，sin(a)；-sin(a)，cos(a)]，或者[1，0；0，-1]，或者這兩者的組合的形式。前者是旋轉a弧度，後者是按x軸反射。
對於置換矩陣，行列式是+1還是−1匹配置換是偶還是奇的標志，行列式是行的交替函數。
