轉置矩陣的行數是原矩陣的列數，轉置矩陣的列數是原矩陣的行數。轉置矩陣下標（i，j）的元素對應於原矩陣下標（j，i）的元素。把矩陣A的行換成同序數的列得到的新矩陣，叫做A的轉置矩陣。使用二維數組作為矩陣的存儲結構，根據轉置矩陣的特點，很容易得到轉置矩陣。
矩陣於電路學、力學、光學和量子物理中都有應用；計算機科學中，三維動畫制作也需要用到矩陣。 矩陣的運算是數值分析領域的重要問題。將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實際應用上簡化矩陣的運算。
對一些應用廣泛而形式特殊的矩陣，例如稀疏矩陣和準對角矩陣，有特定的快速運算算法。關於矩陣相關理論的發展和應用，請參考矩陣理論。在天體物理、量子力學等領域，也會出現無窮維的矩陣，是矩陣的一種推廣。
正交矩陣不一定是實矩陣。實正交矩陣（即該正交矩陣中所有元都是實數）可以看做是一種特殊的酉矩陣，但是存在一種復正交矩陣，復正交矩陣不是酉矩陣。正交矩陣的一個重要性質就是它的轉置矩陣就是它的逆矩陣。
