函數的奇偶性
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知識點概述
1. 理解函數的奇偶性及其幾何意義；
2. 學會判斷函數的奇偶性；
3. 學會運用函數圖象理解和研究函數的性質.
一、定義
對於函數f(x)，如果對於定義域內任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那麼f(x)為奇函數;
對於函數f(x)，如果對於定義域內任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那麼f(x)為偶函數;
奇函數：關於原點對稱。（做題時可考慮特殊值法），f（0）=0）。F（-x）= -f（x）
偶函數：關於y軸對稱。F（-x）=f（x）
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二、函數f（x）的奇偶性
（1）如果對於函數定義域內的任意一個x，都有f（-x）=－f（x），那麼函數f（x）就叫做奇函數。
（2）如果對於函數定義域內的任意一個x，都有f（-x）=f（x），那麼函數f（x）就叫做偶函數。
（3）如果對於函數定義域內的任意一個x，f（-x）=-f（x）與f（-x）=f（x）同時成立，那麼函數f（x）既是奇函數又是偶函數，稱為既奇又偶函數。
（4）如果對於函數定義域內的任意一個x，f（-x）=-f（x）與f（-x）=f（x）都不能成立，那麼函數f（x）既不是奇函數又不是偶函數，稱為非奇非偶函數。
說明：①奇、偶性是函數的整體性質，對整個定義域而言
②奇、偶函數的定義域一定關於原點對稱，如果一個函數的定義域不關於原點對稱，則這個函數一定不是奇（或偶）函數。
（分析：判斷函數的奇偶性，首先是檢驗其定義域是否關於原點對稱，然後再嚴格按照奇、偶性的定義經過化簡、整理、再與f（x）比較得出結論）
③判斷或證明函數是否具有奇偶性的根據是定義
三、性質
(1)函數依據奇偶性分類可分為：奇函數非偶函數，偶函數非奇函數，既奇且偶函數，非奇非偶函數;
(2) f(x),g(x)的定義域為D;
(3)圖象特點：奇函數的圖象關於原點對稱;偶函數的圖象關於原點對稱;
(4)定義域關於原點對稱是函數具有奇偶性的必要不充分條件，奇函數f(x)在原點處有定義，則有f(0)=0;
(5)任意一個定義域關於原點對稱的函數f(x)總可以表示為一個奇函數與偶函數的和的形式：f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)=-[f(x)+f(-x)]為偶函數，h(x)=-[f(x)-f(-x)]為奇函數;
(6)奇函數在關於原點對稱的區間具有相同的單調性，偶函數在關於原點對稱的區間具有相反的單調性。
四、奇偶函數圖像的特征
定理奇函數的圖像關於原點成中心對稱圖表，偶函數的圖象關於y軸或軸對稱圖形。
f（x）為奇函數《＝＝》f（x）的圖像關於原點對稱
點（x，y）→（-x，-y）
奇函數在某一區間上單調遞增，則在它的對稱區間上也是單調遞增。
偶函數在某一區間上單調遞增，則在它的對稱區間上單調遞減。
五、奇偶函數運算
（1）兩個偶函數相加所得的和為偶函數。
（2）兩個奇函數相加所得的和為奇函數。
（3）一個偶函數與一個奇函數相加所得的和為非奇函數與非偶函數。
（4）兩個偶函數相乘所得的積為偶函數。
（5）兩個奇函數相乘所得的積為偶函數。
（6）一個偶函數與一個奇函數相乘所得的積為奇函數。
六、拓展延伸
(1)一般地，對於函數y=f(x)，定義域內每一個自變量x，都有f(a+x)=2b-f(a-x)，則y=f(x)的圖象關於點(a,b)成中心對稱;
(2)一般地，對於函數y=f(x)，定義域內每一個自變量x都有f(a+x)=f(a-x)，則它的圖象關於x=a成軸對稱。
利用函數的奇偶性求值
利用函數的奇偶性和單調性比較值的大小
利用奇偶性求函數解析式
