高中數學三角函數公式

三角函數

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考試內容：角的概念的推廣．弧度制．任意角的三角函數．單位圓中的三角函數線．同角三角函數的基本關系式.正弦、餘弦的誘導公式．兩角和與差的正弦、餘弦、正切．二倍角的正弦、餘弦、正切．正弦函數、餘弦函數的圖像和性質．周期函數．函數y=Asin(ωx+φ)的圖像．正切函數的圖像和性質．已知三角函數值求角．正弦定理．餘弦定理．斜三角形解法．

考試要求：（1）理解任意角的概念、弧度的意義能正確地進行弧度與角度的換算．（2）掌握任意角的正弦、餘弦、正切的定義；瞭解餘切、正割、餘割的定義；掌握同角三角函數的基本關系式；掌握正弦、餘弦的誘導公式；瞭解周期函數與最小正周期的意義．（3）掌握兩角和與兩角差的正弦、餘弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、餘弦、正切公式．（4）能正確運用三角公式，進行簡單三角函數式的化簡、求值和恒等式證明．（5）理解正弦函數、餘弦函數、正切函數的圖像和性質，會用“五點法”畫正弦函數、餘弦函數和函數y=Asin(ωx+φ)的簡圖，理解A.ω、φ的物理意義．（6）會由已知三角函數值求角，並會用符號arcsinx\arc-cosx\arctanx表示．（7）掌握正弦定理、餘弦定理，並能初步運用它們解斜三角形．（8）“同角三角函數基本關系式：sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα,tanα•cosα=1”．

解題思路：

其關鍵是審清題意，畫出圖形，建立解三角形模型，最後解答。

1、解應用題的一般步驟是：（1）分析：審題、理解題意，分清已知與未知，根據題意畫出示意圖；（2）建模：確定實際問題所涉及的三角形以及三角形中的已知或未知的元素。把已知量與求解量集中在一個三角形中；（3）求解：運用正弦定理、餘弦定理及面積公式等有序地解出這些子三角形，求得數學模型的解。（4）檢驗：檢驗所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解。

2、解應用題中的幾個角的概念（1）仰角、俯角（2）方向角（3）方位角

三角函數  知識要點

1. ①與（0°≤＜360°）終邊相同的角的集合（角與角的終邊重合）：

②終邊在x軸上的角的集合：

③終邊在y軸上的角的集合：

④終邊在坐標軸上的角的集合：

⑤終邊在y=x軸上的角的集合：

⑥終邊在軸上的角的集合：

⑦若角與角的終邊關於x軸對稱，則角與角的關系：

⑧若角與角的終邊關於y軸對稱，則角與角的關系：

⑨若角與角的終邊在一條直線上，則角與角的關系：

⑩角與角的終邊互相垂直，則角與角的關系：

2. 角度與弧度的互換關系：360°=2 180°= 1°=0.01745  1=57.30°=57°18′

註意：正角的弧度數為正數，負角的弧度數為負數，零角的弧度數為零.

、弧度與角度互換公式：  1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ．     1°＝≈0.01745（rad）

3、弧長公式：.       扇形面積公式：

4、三角函數：設是一個任意角，在的終邊上任取（異於原點的）一點P（x,y）P與原點的距離為r，則  ；  ；  ；  ；  ；. .

5、三角函數在各象限的符號：（一全二正弦，三切四餘弦）

6、三角函數線

   正弦線：MP;   餘弦線：OM;    正切線： AT.

7. 三角函數的定義域：

8、同角三角函數的基本關系式：   

9、誘導公式：

“奇變偶不變，符號看象限”

三角函數的公式：（一）基本關系

公式組二                  公式組三

公式組四               公式組五               公式組六            

（二）角與角之間的互換

公式組一                                  公式組二

公式組三                    公式組四                                    公式組五

,,,.

10. 正弦、餘弦、正切、餘切函數的圖象的性質：

註意：①與的單調性正好相反；與的單調性也同樣相反.一般地，若在上遞增（減），則在上遞減（增）.

②與的周期是.

③或（）的周期.

的周期為2（，如圖，翻折無效）.

④的對稱軸方程是（），對稱中心（）；的對稱軸方程是（），對稱中心（）；的對稱中心（）.

⑤當·；·.

⑥與是同一函數,而是偶函數，則

.

⑦函數在上為增函數.（×） [隻能在某個單調區間單調遞增. 若在整個定義域，為增函數，同樣也是錯誤的].

⑧定義域關於原點對稱是具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個條件：一是定義域關於原點對稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函數：，奇函數：）

奇偶性的單調性：奇同偶反. 例如：是奇函數，是非奇非偶.（定義域不關於原點對稱）

奇函數特有性質：若的定義域，則一定有.（的定義域，則無此性質）

⑨不是周期函數；為周期函數（）；

是周期函數（如圖）；為周期函數（）；

的周期為（如圖），並非所有周期函數都有最小正周期，例如：

.

⑩ 有.

11、三角函數圖象的作法：

１）、幾何法：

２）、描點法及其特例——五點作圖法（正、餘弦曲線），三點二線作圖法（正、餘切曲線）.

３）、利用圖象變換作三角函數圖象．

三角函數的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等．

函數y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期，頻率，相位初相（即當x＝0時的相位）．（當A＞0，ω＞0 時以上公式可去絕對值符號），

由y＝sinx的圖象上的點的橫坐標保持不變，縱坐標伸長（當|A|＞1）或縮短（當0＜|A|＜1）到原來的|A|倍，得到y＝Asinx的圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換．（用y/A替換y）

由y＝sinx的圖象上的點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長（0＜|ω|＜1）或縮短（|ω|＞1）到原來的倍，得到y＝sinω x的圖象，叫做周期變換或叫做沿x軸的伸縮變換．(用ωx替換x)

由y＝sinx的圖象上所有的點向左（當φ＞0）或向右（當φ＜0）平行移動｜φ｜個單位，得到y＝sin（x＋φ）的圖象，叫做相位變換或叫做沿x軸方向的平移．(用x＋φ替換x)

由y＝sinx的圖象上所有的點向上（當b＞0）或向下（當b＜0）平行移動｜b｜個單位，得到y＝sinx＋b的圖象叫做沿y軸方向的平移．（用y+(-b)替換y）

由y＝sinx的圖象利用圖象變換作函數y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的圖象，要特別註意：當周期變換和相位變換的先後順序不同時，原圖象延x軸量伸縮量的區別。

4、反三角函數：

函數y＝sinx，的反函數叫做反正弦函數，記作y＝arcsinx，它的定義域是［－1，1］，值域是．

函數y＝cosx，（x∈［0，π］）的反應函數叫做反餘弦函數，記作y＝arccosx，它的定義域是［－1，1］，值域是［0，π］．

函數y＝tanx，的反函數叫做反正切函數，記作y＝arctanx，它的定義域是（－∞，＋∞），值域是．

函數y＝ctgx，［x∈（0，π）］的反函數叫做反餘切函數，記作y＝arcctgx，它的定義域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．

反三角函數：⑴反正弦函數是奇函數，故，（一定要註明定義域，若，沒有與一一對應，故無反函數）

註：，，.

⑵反餘弦函數非奇非偶，但有，.

註：①，，.

②是偶函數，非奇非偶，而和為奇函數.

⑶反正切函數：，定義域，值域（），是奇函數，

，.

註：，.

⑷反餘切函數：，定義域，值域（），是非奇非偶.

，.

註：①，.

②與互為奇函數，同理為奇而與非奇非偶但滿足.

⑵ 正弦、餘弦、正切、餘切函數的解集：

的取值范圍   解集                             的取值范圍   解集

①的解集                               ②的解集

＞1                                        ＞1           

=1                  =1  

＜1            ＜1 

③的解集：   

③的解集：

二、三角恒等式.

組一

組二

組三 三角函數不等式

＜＜            在上是減函數

若，則

經典例題：