復合函數就是把幾個簡單的函數復合為一個較為復雜的函數。例如，函數y=cosx²，其復合過程為：y=cosu，u=x²。
函數的復合過程
復合函數，是按一定次序把有限個函數合成得到的函數，對兩個函數f：A關於函數的復合運算→B，g：B→C，由h(x)=g(f(x))(x∈A)確定的函數h稱為f與g的復合函數，記為g·f。這樣，g·f是A到C的函數，(g·f)(x)=g(f(x))，它的值域是g(f(A))，記號“·”表示兩個函數的復合，它是二元運算.這個運算不滿足交換律，即一般來說g·f≠f·g，但它滿足結合律：對f：A→B，g：B→C，h：C→D，有h·(g·f)=(h·g)·f，於是可以定義h·g·f=h·(g·f)=(h·g)·f。
一般地，對n+1個滿足Bi⊆Ai+1(i=1，2，…，n)的函數fi：Ai→Bi(i=1，2，…，n+1)可以定義n重復合函數fn+1·fn·…·f1，任給兩個函數f：A→B，g：C→D，當且僅當f(A)⊆C時可以得到復合函數g·f：A→D；當且僅當g(C)⊆A時可以得到f·g：C→B，當函數用變量表示為t=f(x)，y=g(t)，且f的值域含於g的定義域時，稱t為復合函數y=g(f(x))的中間變量，函數的復合是研究函數的一種工具，一方面它提供瞭構造各式各樣的新函數的方法；另一方面，為研究復雜的函數，常將它們看成一些簡單函數的復合(求函數的導數時常這樣做)。
復合函數的定義域
若函數y=f(u)的定義域是B,u=g(x)的定義域是A,則復合函數y=f[g(x)]的定義域是D={x|x∈A,且g(x)∈B} 綜合考慮各部分的x的取值范圍，取他們的交集。
求函數的定義域主要應考慮以下幾點：
⑴當為整式或奇次根式時，R的值域；
⑵當為偶次根式時，被開方數不小於0（即≥0）；
⑶當為分式時，分母不為0；當分母是偶次根式時，被開方數大於0；
⑷當為指數式時，對零指數冪或負整數指數冪，底不為0（如，中）。
⑸當是由一些基本函數通過四則運算結合而成的，它的定義域應是使各部分都有意義的自變量的值組成的集合，即求各部分定義域集合的交集。
⑹分段函數的定義域是各段上自變量的取值集合的並集。
⑺由實際問題建立的函數，除瞭要考慮使解析式有意義外，還要考慮實際意義對自變量的要求
⑻對於含參數字母的函數，求定義域時一般要對字母的取值情況進行分類討論，並要註意函數的定義域為非空集合。
⑼對數函數的真數必須大於零，底數大於零且不等於1。
⑽三角函數中的切割函數要註意對角變量的限制。
