數列有極限，即當n趨向無窮大時，數列的項Xn無限趨近於或等於a，任意取一個值ε，是表明無論ε是多小的數，Xn與a的差總小於ε，就是Xn無限趨近於或等於a。
數列極限的定義
數列極限用通俗的語言來說就是：對於數列an，如果它的極限是a，那麼，不管給出多小的正數ε，總能找到正整數N，隻要數列的下標n>N，就能保證|an-a|<ε。
比如對於這樣一個數列
an=n（當n《100時） 或an=1/n (當n>100時）
這個數列的極限是0。當對於任意給定的正數比如1/3，數列下標在1~100時，|an|>ε=1/3，但隻要n>N=100，後面的所有項都滿足|an|<1/3
從這個意義來說，數列有沒有極限，前面的有限項（不管這有限項有多大）不起決定作用。
數列極限的性質
（1）極限的唯一性
如果數列{xn}收斂，那麼數列的極限唯一。
（2）收斂數列的有界性
如果數列{xn}收斂，那麼數列一定有界。
（3）收斂數列的保號性
若數列{xn}收斂於a，且a>0, 則存在正整數N，使得當時n>N時，有xn>0。
以上性質中，極限的唯一性和有界性瞭解即可；極限的保號性用的是最多的,它常與求遞推數列的極限、函數的極值點與拐點、連續函數的零點定理等一起應用，也是最容易出錯的。
