三角函數是數學中常見的一類關於角度的函數，通常以角度為自變量，角度對應任意角終邊與單位圓交點坐標或其比值為因變量的函數。三角函數在研究三角形和圓等幾何形狀的性質時具有重要作用，同時也是研究周期性現象的基礎數學工具。
三角函數圖像和性質
三角函數是數學中的基本初等函數之一，具有獨特的圖像和性質。以下是對三角函數圖像與性質的詳細分析：
一、三角函數圖像
正弦函數y=sinx
圖像特征：正弦函數的圖像是一個周期性的波形，它在每個周期內有一個波峰和一個波谷，波峰和波谷的縱坐標分別為1和-1。
對稱性：正弦函數圖像關於原點對稱，也關於直線x=kπ+π/2(k∈Z)對稱。
餘弦函數y=cosx
圖像特征：餘弦函數的圖像也是一個周期性的波形，與正弦函數圖像相似，但相位不同。餘弦函數在每個周期內也有一個波峰和一個波谷，但波峰和波谷的縱坐標分別為1和-1，且波峰出現在x=2kπ(k∈Z)處。
對稱性：餘弦函數圖像關於y軸對稱，也關於直線x=kπ(k∈Z)對稱。
正切函數y=tanx
圖像特征：正切函數的圖像在每一個周期內，從每一個形如(kπ,0)(k∈Z)的點開始，並伸向無窮遠。正切函數的圖像在x=kπ+π/2(k∈Z)處有間斷點，即不存在。
對稱性：正切函數圖像關於原點對稱，但無其他對稱軸。
二、三角函數性質
周期性
正弦函數和餘弦函數的周期為2π，即它們的值在每隔2π的角度後重復出現。
正切函數的周期為π，即它的值在每隔π的角度後重復出現。
奇偶性
正弦函數是奇函數，即sin(-x)=-sinx。
餘弦函數是偶函數，即cos(-x)=cosx。
正切函數也是奇函數，即tan(-x)=-tanx。
有界性
正弦函數和餘弦函數的值域都是[-1,1]，即它們的值始終在這個范圍內。
正切函數的值域是實數集R，沒有上界和下界。
單調性
在特定的區間內，正弦函數和餘弦函數可以是增函數或減函數。
正弦函數在[2kπ-π/2,2kπ+π/2](k∈Z)上是增函數，在[2kπ+π/2,2kπ+3π/2](k∈Z)上是減函數。
餘弦函數在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上是增函數，在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上是減函數。
正切函數在其定義域內的某些區間內也是增函數或減函數。
正切函數在[kπ-π/2,kπ+π/2](k∈Z)上是增函數。
和差角公式
三角函數滿足一些和差角公式，這些公式允許我們計算兩個角的和或差的正弦、餘弦和正切值。
倍角公式
三角函數也滿足一些倍角公式，這些公式允許我們計算一個角的兩倍的正弦、餘弦和正切值。
三角恒等式
三角恒等式是一組恒真的等式，涉及正弦、餘弦、正切等三角函數。這些恒等式在三角函數的計算和證明中非常有用。
單位圓上的定義
三角函數也可以定義為單位圓上的各種線段的長度，這為它們提供瞭幾何解釋。
三角函數知識點歸納總結
(1)α+2K兀(K∈Z)的誘導公式：
①cos(α+2K兀)=cosα
②sin(α+2K兀)=sinα
③tan(α+2K兀)=tanα
(2)-α的誘導公式：
①cos(-α)=cosα
②sin(-α)=-sinα
③tan(-α)=-tanα
證明：如圖，若α的終邊在第一象限，交單位圓於P點，作終邊關於x軸的對稱邊，交單位圓O於P'，則P'(cos(-α)，sin(-α)）。
所以，cos(-α)=cosα，sin(-α)=-sinα，tan(-α)=-tanα。
同理可得，任意非x軸角的終邊與其相反角的終邊一定是關於x軸對稱的。當α的終邊在x軸上時，公式成立。所以，cos(-α)=cosα，sin(-α)=-sinα，tan(-α)=-tanα(α在y軸上時，此值不存在）。
(3)兀±α的誘導公式:
①cos(α+兀)=-cosα
②sin(α+兀)=-sinα
③tan(α+兀)=tanα
證明：若α的終邊在第一象限，延長終邊起點交單位圓於P'’，則P''(-cosα，-sinα)(經過圓心的直線即為直徑，其為P關於圓心的對稱點），而直線PP''的角度為平角，所以優弧AOP''的圓心角即為α+兀。
所以，cos(α+兀)=-cosα，sin(α+兀)=-sinα，tan(α+兀)=tanα
同理可得，任意角α的終邊與角α+兀的終邊一定是關於原點對稱的。
所以，cos(α+兀)=-cosα，sin(α+兀)=-sinα，tan(α+兀)=tanα(α在y軸上時，此值不存在）。
④cos(兀-α)=-cosα
⑤sin(兀-α)=sinα
⑥tan(兀-α)=-tanα
證明：若α的終邊在第一象限，延長角-α的終邊交單位圓O於P'''， 因為OP'為角-α的終邊，所以OP'''為角-α的終邊，P'''(-cos(-α)，-sin(-α))=(-cosα，sinα)。
同理可得，任意非y軸角α的終邊與角-α的終邊一定是關於y軸對稱的。當α的終邊在y軸上時，tanα不存在。
所以，cos(兀-α)=-cosα，sin(兀-α)=sinα，tan(兀-α)=-tanα(α在y軸上時，此值不存在）
