向量的運算法則有：1、向量的加法；2、向量的減法；3、數乘向量；4、向量的數量積；5、向量的向量積；6、三向量的混合積。向量是線性代數中非常重要的概念之一，向量的運算是線性代數中的重要內容。
向量的加減法運算法則
一、向量的加法
向量的加法是指將兩個向量相加得到一個新向量的運算。向量的加法滿足交換律和結合律。
1. 兩向量相加的定義：
設向量a和向量b的起點相同，分別為點O，終點分別為點P和點Q，則向量a和向量b的和向量c為：c=a+b，其起點為點O，終點為點R，R為向量a和向量b的終點所在的點。
2. 向量的加法滿足交換律和結合律：
交換律：a+b=b+a
結合律：(a+b)+c=a+(b+c)
二、向量的減法
向量的減法是指將一個向量減去另一個向量得到一個新向量的運算。向量的減法也滿足交換律和結合律。
1. 兩向量相減的定義：
設向量a和向量b的起點相同，分別為點O，終點分別為點P和點Q，則向量a和向量b的差向量c為：c=a-b，其起點為點O，終點為點R，R為向量a和向量-b的終點所在的點。
2. 向量的減法滿足交換律和結合律：
交換律：a-b=-(b-a)
結合律：(a-b)+c=a-(b-c)
向量的運算的所有公式詳解
1、向量的加法：
向量的加法：
向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。
向量的加法OB+OA=OC。
a+b=(x+x',y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的運算律：
交換律：a+b=b+a；
結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的減法：
如果a、b是互為相反的向量,那麼a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量為0。
向量的減法：
AB-AC=CB.即“共同起點,指向被向量的減法減”
a=(x,y)b=(x',y') 則a-b=(x-x',y-y')。
3、數乘向量：
實數λ和向量a的乘積是一個向量,記作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
當λ＞0時，λa與a同方向；
向量的數乘：
當λ＜0時，λa與a反方向；
向量的數乘當λ=0時，λa=0，方向任意。
當a=0時,對於任意實數λ，都有λa=0。
註：按定義知，如果λa=0,那麼λ=0或a=0。
實數λ叫做向量a的系數，乘數向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。
當∣λ∣＞1時,表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸長為原來的∣λ∣倍；
當∣λ∣＜1時,表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0）上縮短為原來的∣λ∣倍。
數與向量的乘法滿足下面的運算律：
結合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).
向量對於數的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
數對於向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
數乘向量的消去律：① 如果實數λ≠0且λa=λb,那麼a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那麼λ=μ.
4、向量的數量積：
定義：已知兩個非零向量a,b.作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角,記作〈a,b〉並規定0≤〈a,b〉≤π.
定義：兩個向量的數量積（內積、點積）是一個數量,記作a·b.若a、b不共線,則a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共線,則a·b=+-∣a∣∣b∣.
向量的數量積的坐標表示：a·b=x·x'+y·y'.
向量的數量積的運算律：
a·b=b·a（交換律）；
(λa)·b=λ(a·b)(關於數乘法的結合律)；
（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；
向量的數量積的性質：
a·a=|a|的平方.
a⊥b 〈=〉a·b=0.
|a·b|≤|a|·|b|.（該公式證明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因為0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|）
向量的數量積與實數運算的主要不同點：
1、向量的數量積不滿足結合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2.
2、向量的數量積不滿足消去律,即：由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.
3、|a·b|≠|a|·|b|
4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.
5、向量的向量積：
定義：兩個向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個向量,記作a×b（這裡並不是乘號,隻是一種表示方法,與“·”不同,也可記做“∧”）.若a、b不共線,則a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直於a和b,且a、b和a×b按這個次序構成右手系.若a、b共線,則a×b=0.
向量的向量積性質：
∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積.
a×a=0.
a垂直b〈=〉a×b=|a||b|.
向量的向量積運算律：
a×b=-b×a；
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
a×（b+c）=a×b+a×c.
註：向量沒有除法,“向量AB/向量CD”是沒有意義的.
6、三向量的混合積：
向量的混合積：
定義：給定空間三向量a、b、c,向量a、b的向量積a×b,再和向量c作數量積(a×b)·c,
向量的混合積所得的數叫做三向量a、b、c的混合積,記作(a,b,c)或(abc),即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c。
